Il mondo è piccolo

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E il merito è anche un po' di Kevin Bacon.

La teoria del mondo piccolo nasce nei primi del '900 come idea vagamente naive: il trasporto aereo cominciava ad essere una realtà e il genere umano inziava a prendere coscienza che la Terra non era poi così grande.

Ma raggiunge dignità scientifica grazie al lavoro di Stanley Milgram uno psicologo docente a Yale e Harvard che si è occupato di dinamiche sociali nelle grandi metropoli.

Sulla base di una serie di esperimenti riguardanti gruppi di persone relativamente isolati negli Stati Uniti Milgram dimostrò come fosse possibile raggiungere persone difficilmente ipotizzabili in un numero relativamente breve di passaggi. Milgram cominciò a valutare matematicamente la lunghezza del percorso medio tra due membri di una rete sociale. Non fece mai uso della celebre locuzione sei gradi di separazione, che fu coniata nel 1929 da Frigyes Karinthy, ma il suo lavoro ha dato il la alla divulgazione scientifica di questa teoria.

Ma cos'è un mondo piccolo? Sostanzialmente è una proprietà topologica di un grafo. Per lo studio delle reti, umane, di computer o di vendita, il grafo è uno strumento fondamentale. E' il modello matematico di riferimento e ne permette la trattazione scientifica più rigorosa. In un grafo ogni elemento della rete prende il nome di nodo e gli elementi di collegamento tra due nodi sono detti archi. Più archi ci sono in un grafo e minore è il numero medio di passaggi per andare da un suo elemento a un altro.
Un'idea di questo fatto può venire proprio da internet: un motore di ricerca offre milioni di link (ovvero archi) ad altri siti (nodi) quindi arrivare ad un qualunque sito da Google è molto facile. Del resto la stragrande maggioranza dei siti web offre un link a Google e questo rende i percorsi medi relativamente brevi: dal mio blog si arriva facilmente a Google e da lì virtualmente ovunque. Senza Google e i suoi archi sarebbe moooolto più complesso.
Altra analogia sono le reti di conoscenze: più conoscenze si hanno (archi) più sarà facile arrivare alla persona (nodo) che può farci il favore di cui abbiamo tanto bisogno.

Fin qui siamo piuttosto sul folkloristico, però: nessuno ha ancora chiarito come si possa arrivare al presidente del consiglio per farsi fare quella legge di cui si avrebbe tanto bisogno.

Nel 1969, forse per prendere in giro il matematico Paul Erdos nasce il numero di Erdos. Quest'uomo, connazionale di Karinthy, era famoso per la sua idea sociale e cooperativa di sviluppo della matematica. Pubblicò articoli con ben 509 matematici diversi perciò qualcuno cominciò a chiedersi, in modo giocoso, quale fosse il numero di passaggi che lo separava da Erdos. La definizione è ricorsiva e piuttosto semplice: chi ha firmato un lavoro con Erdos ha numero di Erdos 1, chi ha firmato un lavoro con qualcuno che ha numero di Erdos 1 ha numero di Erdos 2 e avanti così. Un passatempo per matematici, insomma.
Ma il passatempo diventa importante studio quando Erdos concepisce il mondo delle conoscenze casuali: dopo aver dimostrato che perché tutti gli elementi di un grafo siano collegabili basta un numero piccolissimo di archi rispetto a quello possibile dimostra che in un mondo di 6 miliardi di individui è sufficiente conoscere una persona a caso ogni 250 milioni perché tutti gli individui del mondo possano essere collegati. Quel mondo, ovviamente, è la terra. Insomma... se ciascuno di noi conosce 24 persone a caso sul pianeta è possibile arrivare da qualsiasi terrestre a qualsiasi altro. Da Ahmadinejad a Bush. Da Charles Manson a Benedetto XVI.
Questa situazione, però, si chiama rete casuale o grafo casuale non rete o grafo "piccolo mondo" ed è anche un'ipotesi piuttosto inconsistente perchè non si può sostenere che le conoscenze di ciascuno di noi siano casuali in senso strettamente matematico: nella stragrande maggioranza si tratta di amici di amici.
Gli studi di Erdos e il numero di Erdos, comunque, dimostrano che una rilevanza scientifica di alcuni modelli particolari di reti di conoscenze esiste, non è puro folklore. Il fatto che Erdos fosse rigidamente un matematico, però, confina la disciplina relativa al suo numero ad un ambito decisamente ristretto, quello dei ricercatori matematici.

Nel 1994 viene inventato un giochino. Si tratta di prendere un qualsiasi personaggio dello spettacolo ed arrivare a Kevin Bacon in sei passi. Il gioco viene reso popolare da un film e l'insieme di personaggi che ne viene fuori è straordinariamente più vasto di quanto si potesse immaginare. Nasce così il numero di Bacon ovvero il numero di passaggi necessari ad arrivare da un qualsiasi individuo a Kevin Bacon. Non dubito che qualcuno si sia divertito a giocare tra Kevin Bacon e Sir Francis Bacon, ma questi sono dettagli. Il mondo del cinema ha una diffusione molto più vasta e automaticamente apre la strada alla diffusione della teoria dei sei gradi di separazione: ogni individuo è separato da un altro al massimo da sei passaggi.
Più interessante, ma ancora folkloristico.

Sia chiaro: è facile costruire un grafo in cui ogni nodo è separato da tutti gli altri al massimo da sei passaggi, si tratta solo di aggiungere archi, ma cosa ci fa pensare che il grafo delle conoscenze umane sia vagamente simile a un grafo del genere?
Erdos aveva dimostrato qualcosa di analogo per una rete casuale, ma la rete umana ha caratteristiche decisamente non casuali: è altamente aggregata, vale a dire che ognuno di noi tende ad avere relazioni con pochi individui (sul totale disponibile di sei miliardi abbondanti) per di più piuttosto localizzati. Eppure, nonostante questo, il grado di separazione è molto basso. Significa che i passaggi per unire qualunque coppia di esseri umani sono pochi.
Nel tempo si sono studiate varie reti sociali dalle caratteristiche "piccolo mondo". Questi studi non hanno confutato la teoria dei sei gradi di separazione, ma va detto che le reti studiate erano molto limitate quindi i risultati trovati erano poco generalizzabili. Oltre a matematici ed attori si sono studiate reti di partner sessuali e di computer. Le prime utili per lo studio della diffusione delle malattie sessuali, le seconde perché più facili da studiare, ma va da sé che una rete di computer, per quanto vasta, difficilmente può essere definita rete sociale.

Fino a pochi giorni fa quando i laboratori Microsoft hanno pubblicato i risultati di una ricerca su 30 miliardi di conversazioni effettuate tra 180 milioni di utenti di Messenger.
La ricerca è stata anonima e si è limitata a valutare le proprietà topologiche del grafo risultante dagli utenti di Messenger o, se preferite, di valutare la rete sociale costituita dagli utenti di Messenger.
Il risultato è stato che il grado di separazione medio tra tutti gli utenti è di 6,6 e vale per il 78% delle coppie possibili di utenti. Il picco di separazione è stato di 29.
Risultato? Gli utenti di Messenger sono una rete sociale per cui è valido il modello "piccolo mondo" e, per di più, è quasi vera l'ipotesi dei sei gradi di separazione.

La rete è consistente. L'ipotesi è sostanzialmente provata. Il mondo potrebbe essere davvero più piccolo di quanto pensiamo. Di parecchio.

Per gli amanti della scienza.
- Una rete piccolo mondo gode di due proprietà: alta aggregazione (o clusterizzazione) e breve cammino medio tra gli elementi.
Alta aggregazione significa che ogni elemento è collegato a pochi altri che tendono ad essere fortemente collegati tra loro (un gruppo di amici, un gruppo di scambisti, un forum, un newsgroup, etc.).
Breve cammino medio tra gli elementi significa che considerando le lunghezze dei percorsi minimi che uniscono ogni coppia di elementi possibile della rete e facendone la media si ottiene un numero piccolo.
- La teoria dei sei gradi di separazione dice che il percorso minimo tra una qualsiasi coppia di elementi di una rete sociale ha mediamente lunghezza sei.

La ricerca di Microsoft ha dimostrato che
- la rete di utenti Messenger è una rete piccolo mondo: l'alta aggregazione era un'ipotesi scontata, il breve cammino medio è stato invece riscontrato attraverso misurazioni
- l'ipotesi dei sei gradi di separazione non è stata completamente confermata visto che il valore trovato è stato 6,6 ma l'eccezione è solo sul valore, non sulla dignità della teoria. E' la più grande rete sociale fin qui studiata e su questa si è rivelata sostanzialmente valida

Molte delle voci in questo post sono trattate su Wikipedia in modo migliore di quanto io possa fare. Sarebbe pedante inserire i link a tutte quelle voci ma chi vuole può approfondire con facilità. Un articolo che vale sicuramente la pena di leggere è quello su Paul Erdos, un personaggio davvero singolare e interessante.
C'è chi ha cercato di speculare sul numero di Erdos. Si sa di almeno due aste su eBay nelle quali è stato offerto un numero di Erdos finito (chi non è collegabile a Erdos ha numero di Erdos indefinito). Nella prima è stato offerto un numero di Erdos pari a 5, tramite un matematico con numero di Erdos 4 che offriva la firma su un articolo da pubblicare. L'asta terminò con un'offerta di oltre 1000$, ma piuttosto curiosa: è stata fatta da un matematico con numero di Erdos 3 che non ha alcuna intenzione di pagare. Primo perché non può beneficiare del bene - ma potrebbe cederlo - secondo perché è contrario all'idea che una pubblicazione si possa comprare: andrebbe piuttosto sudata.
Una seconda asta ha visto offrire il numero di Erdos 2, il più basso che si possa ottenere da quando il matematico è morto, con lo stesso meccanismo della pubblicazione. L'asta è stata vinta con poco più di 127$.
Entrambe le aste sono del 2004.
Kevin Bacon ha sfruttato la popolarità del "suo" giochino per dare vita a un'organizzazione benefica. Per ora non si sa di offerte di numeri di Bacon su eBay.
Esiste anche il numero di Erdos-Bacon dato dalla somma dei rispettivi numeri. Il più basso è 3 e lo detiene Daniel Kleitman del MIT. Vista la distanza tra i due campi che coinvolge, pochissime persone hanno un numero di Erdos-Bacon finito.

Riferimenti
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